正四面体の外接球

1辺がaの正四面体ABCDがある。点Aから平面BCDにおろした垂線の足をHとしたとき、次の長さを求めよ。

ボタンを押すとヒントとなる図が表示されます。

(1)△BCDの外接円の半径BH 

(2)正四面体ABCDの高さAH 

(3)四面体ABCDの外接球の半径R 

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[解説]

(1)△AHB,△AHC,△AHDは合同な直角三角形であるからBH=CH=DHとなり,点Hは△BCDの外心となります。

BHは外接円の半径であるから,△BCDに正弦定理を用て求めることができます。\(BH=\frac{a}{\sin 60^\circ }\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)

(2)高さAHは△ABHに三平方の定理を用いると求めることができます。\(AH=\sqrt{a^2-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}a\)

(3)外接球の半径はOAであり、内接球の半径はOHである。OA=Rとおくと,OH=AH-Rとなる。

△OBHに三平方の定理を用いて\(R^2=BH^2+(AH-R)^2\)

\(BH=\frac{\sqrt{3}}{3}a,AH=\frac{\sqrt{6}}{3}a\)

を代入してRについて解くと

\(R=\frac{\sqrt{6}}{4}a,r=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)

(3)の別解

内接球は△BCDの重心H、△ACDと重心Iと接する。BH:HM=2:1,AI:IM=2:1であるから メネラウスの定理より

\(\frac{AI}{IM} \cdot \frac{MB}{BH}\cdot \frac{HO}{OA}=1\)

\(\frac{HO}{OA}=\frac{1}{3}\)

よってOH:OA=1:3であるからOH:AH=1:4となる。

ゆえに\(r=OH=\frac{1}{4}AH=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)

\(R=OA=3OH=3\frac{1}{4}AH=\frac{\sqrt{6}}{4}a\)

(3)の別解その2

正四面体ABCDと四面体OBCDの体積比は4:1したがってAH:OH=4:1ゆえにr=OH=AH/4 またAO:OH=3:1であるからR=AO=3OHとなる。

四面体の内接球を参照