三角関数の置き換え(3D)

「三角関数\(y=4{\cos}^2 θ -3\cos θ+1\)

の最大値、最小値を求めよ」という問題を\(t=cos(θ)\)

とおくと「2次関数\(y=4t^2-3t+1(-1≦t≦1)\)

の最大値、最小値を求めよ」という問題に置き換えて解くことができます。

そこで置き換えによって2つの式がどのような関係になっているのか、tyθ空間で表現してみました。

t軸,y軸,θ軸のそれぞれの方向から見てみましょう。

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t軸方向からみると(yθ平面では)\(y=4{\cos}^2 θ -3\cos θ +1\)のグラフになります。

y軸方向からみると(tθ平面では)正弦曲線\(t=\cos θ\)のグラフになります。

θ軸方向からみると(ty平面では)放物線\(y=4t^2-3t+1\)になります。